给儿童数学学习以需要的帮助

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　　摘要：学生的学习经常伴随各种错误，错误的背后是学生学习中的种种困难与疑惑。正视学业困难，提供需要的帮助，是教师的责任所在。基于一卷三测的实证研究表明，第一次检测与后两次检测结果差异极其显著，二、三次检测结果没有显著变化，且重复错误率高，进而提出“变单一讲授为多样引导，关注概念性知识的过程理解;变消极定势为多层建构，积累事实性知识的立体认知;变关注结果为过程推进，建立程序性知识的本然机制;变知识习得为素养提升，发展元认知能力的多层内涵”等教学改进策略，给儿童数学学习以需要的帮助。
　　关键词：学业测试;实证研究;数学学习;学业求助
　　中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）12A-0049-05
　　学生的学习过程经常伴随各种错误。教师面对学生的错误，大多采用不厌其烦地讲授，理所应当地认为自己讲过后学生就会掌握。但事实上，我们经常会发出这样的抱怨：这题都讲N遍了，学生一做还是错;或者今天会做了，过段时间做又错了。问题出在哪？是我们讲得不够卖力还是教得不得其法？看来，我们应该反思：学生需要怎样的帮助来解决他们的学业困难？我们的“帮助”是儿童需要的吗？
　　《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。”[1]当前，对学业测试的分析与研究仍是促进教师反思、改进教学的主要路径。本研究利用一卷三测的方式进行实证研究，试图从儿童呈现出的错误中探寻出有效的教学改进措施，给儿童数学学习以需要的帮助。
　　一、研究与设计：基于一卷三测结果的实证研究
　　（一）测试对象
　　测试对象是一年级某班42名学生（男生22人，女生20人），各层次学生数均衡。测试过程和结果具有一定的信度、广度和代表性。
　　（二）测试工具
　　研究工具是“100以内数的认识”（苏教版数学第二册）单元测试卷。研究以布卢姆的教育目标分类的知识维度和认知过程维度为依据，对本次测试内容的编制、考核点与考核内容进行统计（见表1）。
　　测试题目围绕数的意义、表示、关系、运算、估算和问题解决这6个数感构成要素进行设计。在知识维度上，测试卷既涵盖程序性知识（如数的运算），概念性知识（如数的认识、意义），也涉及事实性知识（如数的关系、表示等），同时需要儿童调用自身的元认知来完成整个答卷过程。在认知过程维度上，大多数试题涵盖了多個认知过程，重点考察儿童的综合运用能力。因此，本张试卷考核难度适中且规范，体现了课标的评价标准，结果具有一定的信度和效度。
　　（三）测试方法与过程
　　同一份试卷，对同一个学生群体分期中、期末和下学期初三次测试。每次测试都由同一位教师监考、改卷、评讲试卷，并指导学生订正后收回试卷进行统计。统计三次测试整体成绩、个体成绩和个体每一次测试出现的错误情况，以失分分值作为统计的量化指标，进行数据的整体分析、对比分析和交叉分析。
　　二、结果与分析：我们的“帮助”是儿童需要的吗
　　（一）总体情况
　　用配对样本t检验的方法来验证学生在三次测试中的总分是否存在明显差异，如表2：
　　结果分析：对1（第一次总分与第二次总分），t为-5.685，自由度为41，95%的置信区间为（-9.745，-4.636），显著性检验值Sig为0，小于1%，对2也是同一情况，说明总分一与总分二、三之间差异极显著。对3，t为0.829，自由度为41，95%的置信区间为（-1.162，2.781），显著性检验值Sig为0.412，远大于5%，说明总分二、三之间没有显著变化。由此可知：在第一次测试后，教师对试卷评讲、组织订正有效解决了学生的部分学习困难，使得第二次测试成绩有了显著的提升。而总分二、三的无显著变化，一方面说明学生对知识掌握较为稳定，并没有因为间隔时间长而产生遗忘，另一方面也说明在测试中有一部分难题已经固化，导致重复失分。
　　（二）分类情况
　　1.错误类型
　　笔者将每一位学生三次测试中出现的错误加以统计，三次测试共失分1267分，除了漏题和解答形式出错外，其余93%是学生真正意义上的答题错误。由于是进行三次重复测试，学生的错误又会出现以下不同的情况：三次测试重复出错（三次重复）的占15%，第一次和第二次重复出错（近期重复）占12%，第一次和第三次或是第二次和第三次重复出错（远期重复）占15%。前两次出错但第三次答对（错已掌握）的占41%，前两次没有出错，第三次却产生错误（新错）占10%。
　　2.重复错误内容和题型
　　在研究样本中，重复出现的错误占全部错误的42%。共有35题次出现三次重复错误情况，主要集中在“数的综合应用”，占83.33%;其次是关于“数的意义”“数的表示”和“数的问题解决”。近期重复错误中50%的学生错在“数的问题解决”，其次是“数的综合应用”和“数的关系”;远期重复错误共47题次，出错比重最大的还是“数的问题解决”，其次是“数的综合应用”。重复错误题型均集中在“填一填”和“解决问题”中。
　　3.新出现错误内容和题型
　　全班71.43%的学生在第三次测试中，出现了前两次没有出现的错误。43.33%的学生出错中在“数的问题解决”试题中。在“数的意义”“数的表示”部分出错的学生也较多，分别占40%、30%。与之前不同的是，每种题型都出现了或多或少的错误，其中错误最多的题型还是在“填一填”。
　　4.元认知错误与学生性别、层次分析
　　元认知是对认知的认知。测试时没有领会答题要求或漏题而失分的，本研究将其归为元认知错误范畴。从统计中发现：测试成绩优秀的学生元认知水平也较高，而越是失分较多的学生，漏题失分和答题形式错误失分也较多。从漏题学生的性别看，没有明显的性别差异，男女生失分相差不大，但对做题的要求理解方面，女生的失分值高于男生。 　　（三）结论
　　1.重复出错率较高：儿童需要的不仅仅是单一的试卷评讲
　　在研究样本中，有53.97%的学生存在重复出错现象，重复错误失分占三次总失分的42%。用简单相关分析，分析总失分和三次重复失分情况的相关性（见表3）。
　　由表3可知，总失分和三次重复失分之間的相关系数为0.897，显著性水平为0，小于0.01。所以总失分与三次重复失分两者相关关系为正向的，且相关性很强。数据告诉我们：“卷面测试—评讲试卷—订正回批”这种常规的处理试卷流程，只能解决学生测试问题的50%左右。这也解释了教师们经常抱怨“为什么讲再多学生还是不会”的问题。还有一半的学业困难会伴随着儿童的后续学习，而这些困难很可能导致儿童的学习难度日益加大。
　　2.程序性知识重复出错率高：儿童需要的不仅仅是单个知识点的理解
　　把不同类型错误进行比较（见图1）发现：重复出错的内容相对集中，比率最高的是“数的问题解决”，依次是“数的综合应用”和“数的意义”，题型也集中在“填一填”和“解决问题”中。说明这部分内容既是教师教学的短板，也是学生学习的难点，仅仅依赖教师的讲授并不能让学生有更深刻的理解与内化。教学需要结合不同情境和材料、运用多种方式引导学生对数的意义进行理解，进而在练习中理顺各种变式中的数量关系。
　　3.概念性、事实性知识遗忘率较高：儿童需要的不仅仅是一时的记忆
　　在大多数统计数值都相近的近期和远期重复错误中，只有“数的表示”和“数的意义”这两个数值远期重复明显高于近期重复。可见，学生对于概念性和事实性知识遗忘率较高。同样，在新错的统计中，这两类知识的错误人数更是上升到30%和40%（仅低于“数的问题解决”）。说明教师在教学中，要加强对概念性、事实性知识的巩固，适时地引导学生对“数的意义”反复理解，对“数的表示”从规范与规则上巩固强化，直至儿童真正地将其建构到知识体系中。
　　4.元认识能力差距较大：儿童需要的不仅仅只是学科知识的掌握
　　三次测试错误中元认识错误共失分93分，其中成绩排前10名的元认知错误失分占元认知错误总失分的6.5%，11-20名占17.2%;21-30名占26.9%;30名往后的占49.5%，即越是学科知识失分多的学生，出现漏题、审题错误的情况也较多。反思我们的教学行为：“学困生”的辅导重点在学科知识上，忽视元认知能力培养;而“学优生”更多的是超于学科知识的更高标准要求。因此，重视“学困生”的元认知能力培养，其学科知识的学习能力也会水涨船高。
　　三、讨论与启示：如何给予儿童以需要的帮助
　　儿童在数学学习中总会出现这样那样的错误。作为教师，如何帮助他们答疑解惑，解决学业困难，给以儿童真正需要的帮助呢？上文基于一卷三测结果的研究可以给我们以下四点启示：
　　（一）变单一讲授为多样引导，关注概念性知识的过程理解
　　概念性知识是一种较为抽象概括的、有组织的知识类型。数学概念是对客观事物的数量关系和空间形成的本质属性的描述与反映。儿童的抽象、概括能力较弱，数学的概念学习很容易成为看似简单实则抽象的学习难点。因此，教学中要把握概念形成与发展的整体脉络，变单一的讲述为多样的情境、表述、变式，关注过程理解，培养思维深度。
　　例如在对数的意义进行教学时，要明确数的意义始终贯穿于数的教学之中。每一个学段关于数的学习都是对“数的意义”的不断深入与完善。低年级以具体物体的数量引导儿童理解数，利用生活经验引入数的表示、数的关系和数的运算，让儿童用自己的理解去建构“数觉阶段”，初步形成数感;中年级的学习素材已经抽象到“像表示物体个数的1、2、3……”这样的定义概括，教师需从引导学生联系身边的具体事物来理解和描述，从“数觉阶段”过渡到“符号阶段”，从而发展数感;高年级积累了整数、小数、分数等数概念和运算规则的学习经验，需在数的估算和问题解决中加强对数意义的理解与建构，增进数量关系及变化规律的理解，经历“建模阶段”，形成较为成熟的数感。
　　（二）变消极定势为多层建构，积累事实性知识的立体认知
　　事实性知识又叫事实，是儿童学习数学所必备知识的基本要素。当“数学中”的事实性知识与“生活中”的事实性知识或已知与未知不一致时，儿童的学习会受到思维定势影响。教师善于从儿童的生活经验出发，利用观察、操作、对比、体验等多形式、多角度、多层次的实践，结合思考、探索和交流等活动，充分积累学习认知经验，建构出事实性知识的立体认知。
　　例如在教学除法竖式时，学生会受到加减法、乘法竖式写法的影响，认为除法竖式也同样，通过口算得出结果，反而简便。这样的认知为除法竖式的教学带来了消极的影响。不少教师会强化学生记忆，说明就是这样规定的。儿童不理解，自然就会出现问题。教材对此也进行了改进：将原本放在二年级上学期学习的除法竖式移到了二年级下学期学习“有余数的除法”单元中，教师要领会其中用意，引导学生结合除法的本质——平均分来理解除法竖式的与众不同，以余数的出现让学生理解为何从高位除起。在此基础上，可再利用实物进行平均分，在操作的过程中显现出除法竖式的科学性和特别性，再次加强学生对除法及除法竖式的理解。除此之外，还可以较为复杂的除法进行竖式计算，让学生多层次、多方位地体会到除法竖式的合理性、简洁性与过程性。这样多层次的理解积累，构建出“除法竖式”这样一个事实性知识的立体认知。
　　（三）变关注结果为过程推进，建立程序性知识的本然机制
　　程序性知识是关于完成某项任务的行为或操作步骤的知识，即“如何做”的知识。数学中的程序性知识包括原理、法则、方法策略。教师要从关注结果向过程追溯，明晰儿童对知识的本然机制：从儿童的经验出发，搭建基于理解的活动平台，让学生充分感受信息的搜集、处理、加工和演绎的过程，从而解决问题，形成技能。 　　例如本次研究样本中重复出错率最高的一道填空题：用4颗珠子，在计数器上表示出最小的两位数是（   ），最大的两位数是（   ）。解题程序至少包括三步：第一步检测学生对两位数的认识，即个位和十位要有“数字”，包括需理解“十位上有数字，个位上可以没有数字要写零表示”和“十位上没有数字就不是两位数”这两层意思;第二步检测学生对数值的理解，即用4个珠子表示，说明个位上和十位上的数字加起来是“4”，需列出所有符合条件的两位数;第三步在列举的数中确定最终答案。这三步既是儿童思维的逐步发展，也是此类问题解决的本然机制：首先需培养搜集信息、提取和分析信息的能力，使学习发生;其次形成解决问题的策略和规则，让学习发展;最后养成良好而严谨的思维和答题习惯，保障整个学习机制得以有效实施。
　　（四）变知识习得为素养提升，发展元认知能力的多层内涵
　　元认知是学习者对自己的思维活动和学习活动的认知和监控。儿童的心理发展还不成熟，对于自己的认知活动和对认知活动的认知还不能区分。这种发展与个体认知成正比。给儿童需要的学业帮助，关注学科知识的掌握固然重要，引导儿童学会认识自我，提升元认识水平同样不能忽视。
　　元认知能力包括元認知知识、体验和监控三个内容。发展元认知能力也是关注儿童素养的提升。以具体的学科知识为载体，从学习材料、学习目标、学习策略等方面唤醒儿童的主体意识，引导儿童进行元认知的体验和监控。利用“问”可以有效地进行元认知训练。课前问：“你准备好上课了吗？”提醒学生做好学习前的准备（主要是心理上的）。新知学习后问：“你有什么疑问吗？”促使学生反思自己的学习过程，进行自我监控和评价。在全课总结时问：“你的收获是什么？”回顾并梳理所学。同时还可以培养学生自问：“这道题的条件是什么？我的题意理解对吗？我的解题是否正确、完整”……简单的一个“问”字，不断地促进儿童自我反思，帮助儿童习得元认知知识，积累元认知体验，进行有效的元认知监控，从而发展元认知水平。
　　相关研究发现，教师十分重视学生的分数，重视学生的学习成果，从而导致对学生错误的认知标准是看结果，而不是看过程。通过对一卷三测结果的统计与分析，我们窥探到儿童之所以一而再、再而三出错的背后，是我们用单一的评讲代替对学科知识的有效认识与分析，用不停地抱怨代替探索儿童真正需要的帮助。教师应多样引导、多层建构、促进认知、素养提升，只有这样，才能有效解决儿童的学业困难，给予他们需要的帮助。
　　参考文献：
　　[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社， 2011：52.
　　 责任编辑：李韦
　　Problems with Children’s Mathematics Learning and Strategy for Improvement
　　HU Yun
　　（No. 2 Primary School Attached to Lianyungang Normal College， Lianyungang 222023， China）
　　 Abstract： Students usually make mistakes in learning， which is caused by different difficulties and confusions. Teachers should face students’ mistakes and give them necessary help. The empirical research based on one test paper tested three times reveals that the result of the first test is significantly different from the second two， while the second two tests have no significant differences. Therefore， the author suggests some strategies to improve mathematics teaching： changing single transmission into diversified guidance and focusing on the understanding of conceptual knowledge， changing negative stereotypes into multi-construction and accumulating three-dimensional cognition of factual knowledge， changing from result focus to process promotion and establishing the original mechanism of procedural knowledge， and changing knowledge acquisition to quality enhancement and developing the multiple connotation of meta-cognitive competence.
　　 Key words： academic test; empirical research; mathematics learning; academic help
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