基于多元表征的数学概念教学研究
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作者:陶冬芝
摘 要：由于学生接受能力的不同，因而数学概念的表现形式也各不相同，在小学数学教材中最主要的两种表示方式是描述式概念与定义式概念。教师在平时教学中，常常重趣味，轻实效;重抽象，轻表象;重结论，轻过程;重实物，轻语言;重建立，轻运用的现象。我们教师应重视小学生的认知规律，进行有效的数学概念教学。
关键词：表征;多元表征;小学数学;概念教学;教学策略
建构主义学习观强调：“要对知识形成深刻的、真正的理解，这就意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的，而不是零散的、只字片语的。”在数学课堂中运用多元表征，更有利于学生把握概念的内涵与外延，学生在生成新知识的同时，还能培养数学思维与解决问题的能力。数学概念被多层次抽象，数学概念被多视角归纳，数学概念被多维度建构，数学内在表征和数学思维过程在多元表征下变得可视可感。
一、 多元表征的内涵扫描
表征是认知心理学的核心概念之一，指将接收到的信息和知识进行内部加工，在大脑中建构后重新以新形式表现出来。因此，表征是认知过程与认知结果的统一。学生对数学概念的理解与掌握与数学课堂教学的效率都取决于数学概念教学的设计成功与否。在数学教学实践中，数学概念教学设计过于注重教学经验，缺乏应有的教与学的理论指导，科学性与合理性均不足的教学设计，数学概念的理解对于学生而言就相当的困难了。
教师进行教学设计时应从多元表征角度出发，以学生认知的心理机制出发，将数学概念多维度呈现，学生在构建数学概念的知识体系中对数学概念融合贯通，提高运用数学概念解决实际问题的能力。
二、 数学概念教学中运用多元表征的成因分析
作为小学数学基础知识的一项重要内容的数学概念，它也是数学理论体系的基础，学生理解数学知识的首要条件就是掌握数学概念，计算和解题的前提就是理解数学概念。概念充斥于一切小学生所会遇到的问题中，比如：先要明白什么是乘除法才能进行简单的乘除计算;先要明白各种图形的定义以及面积的定义才能求某图形的面积等。思维混乱源于概念的不清，自然就更加无法运用不清的概念去解决相关问题。
表征既是数学的一部分，又是理解数学的一种教学手段，利用多元表征，帮助学生从多角度深入理解数学概念的本质，一方面能促进学生运用多种感官参与数学学习，拓宽数学概念的内涵与外延，有利于建构知识体系;另一方面学生也能应用多种表征外显学习过程，帮助老师评价其学习进程。
三、 数学概念教学中运用多元表征的践行策略
数学概念教学伴随认知心理学的发展也有了新的发展：单一表征到多元表征的跨越，概念本质的追求到与意义发生共鸣的飞跃。不同形式的表征是数学概念用不同的方式进行表达，即从多维度阐述其本质。学生在教师的引导下经历语言表征、材料表征、问题表征、对比表征等多种形式的表征过程，从而丰富数学概念的内涵外延，同时还补充和完善各种表征形式，促使学生准确定位与把握数学概念。
（一）语言表征，清晰表述概念的内涵
数学概念教学，一般应逐步由实物的直观过渡到图形的直观，再逐步发展到语言的直观，即由基于语言的表述描述来代替基于动作和形象的演示。用语言表述概念经历“用自己的自然语言表达概念——用数学语言表述所学概念——用自己的个性化科学的语言表达”这样一个螺旋递进式上升的过程。符号语言、文字语言和图示语言等都属于数学语言。学生需要具体形象的语言符号来学习数学概念。为此，在概念教学中，我们需要丰富数学概念的感性材料，帮助学生奠定所学数学概念的建构基础，感悟数学学习的美妙。
比如数学书中提到：一个数只有1和它本身兩个因数，这个数叫质数。“1”和“它本身”这两个关键词汇就是教学中的注意点，学生只有关注到概念的本质内容才能掌握质数的概念。再比如在认识分数这一课时中，对四分之一这一概念，我们可以引导学生不断用语言来进行表述，从一开始的不精准：如4份中的一份，到后来的准确表达：把一个蛋糕平均分成四份，其中的一份就是四分之一。在不断地尝试交流中，学生对四分之一建立了明晰的表象，对分数的本质有了更深刻的理解。
语言是师生双方表达意见的工具和思想交流的载体，概念的本质特征是帮助学生明确此概念与其他概念进行区分的标志性属性，因此教师在数学概念教学中要注重培养学生的数学核心素养，引导学生将概念性术语与日常用语严格区分开来。
（二）材料表征，建立概念表象
《数学课程标准》（2011年版）指出：“要重视直观，处理好直观与抽象的关系，要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。”在一些数学概念教学中，学生只有通过大量丰富的感性材料才能建立起数学概念的外部表象认知，进而在表象与抽象间建立联系，建构数学概念体系。材料的单一或数量上简单的堆叠都称不上丰富，只有多渠道、多角度、多感官为学生提供建构数学概念的感性材料才能使学生从简单的概念形成向复杂的概念同化过渡，从而内化数学概念，为其所用，提高实际解决问题的能力。
比如教学“面积单位”时，学生对于面积单位缺乏一定认知，教师可以借助图片的直观呈现以学生所熟知的学校、游乐园面积与足球场进行比较，让学生能初步体会以“足球场”作为一种标准来描述学校、游乐园的大小的方法;接着在小组合作测量课桌面的面积的活动中，教师可以巧用多种材料丰富课堂：40个纸杯口那么大大约是这张课桌面的大小;28片树叶那么大大约是这张课桌面的大小;6本数学书那么大大约是这张课桌面的大小……学生采用不同的材料进行“打比方”，直接参与测量课桌面的面积，并能够流利地描述结果。学生在循序渐进中得到感悟，为接下来引出需要“统一标准”做好充分的准备，学生能够更加深刻感受“面积单位”这一概念的必要性。
材料表征是数学表征的一种重要形式。华罗庚说过：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形缺数时难入微”。这样的材料表征非常直观而又准确，学生对数学概念有了更合理、合适的表象认知。 （三）问题表征，启发对概念的理解
宋代教育学家朱熹说过：“读书无疑者须先教有疑，有疑者却要无疑，到这里方是长进。”教学中，教师对于所提问题的重视，对学生构建数学概念有着画龙点睛的作用。课堂上设计恰当的、具有一定挑战性的关键问题，更可以激励学生深入展开数学思考。在动态生成的课堂中，教师不仅要注重备课中能够反映数学概念实质的问题，也应关注学生在探索中的生成性问题，帮助学生把握数学课堂上的核心概念。
比如还是在教学“面积单位”时，教师可以创设情境，以此提出问题：“如果让你回去告诉你的妈妈这张课桌面的大小，你准备用什么来打比方？”引出在测量或计算平面图形的大小时，需要用一个统一的单位，为接下来学习面积单位作了一个很好的铺垫;再如教师也可以激发认知冲突提问：“同样大小的课桌面，有的说有40个纸杯口那么大，有的说有28片树叶那么大，还有的说有6本数学书那么大，这是怎么回事呀？”使学生感受到统一测量单位的必要性，从而引出面积单位。
再如教学“2和5的倍数的特征”时，教师可联想设疑，引导学生经历“观察—猜想—验证—结论”的探究过程：学生观察百数表中2和5的倍数的特征之后，让学生提出猜想：“5的倍数个位是5或0，2的倍数个位是2、4、6、8或0”，然后启发学生：“100的数有这样的规律，能不能保证这个结论是正确的呢？”引导学生继续举例100以外的数进行验证，最后通过交流得出结论，猜想正确。
问题表征增加了问题的呈现方式，有利于感悟问题的本质，解决抽象的数学问题。教师应深度挖掘教材中的问题;又应重视课堂上的生成性问题，融合课堂提问的科学性与艺术性，启发学生更深层次的理解数学概念。
（四）对比表征，辨析概念区别与联系
著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”小学生掌握数学概念需要经历引入概念——巩固概念——深化、应用概念的认知过程。教师在数学概念教学时、恰当地运用比较法让学生积极参与到比较、同化、变式等数学活动中，亲历概念的产生、形成、发展、应用的过程，使学生在明确新旧概念之间的区别与联系中，更为准确理解新概念，让概念的“形象”清晰起来，让概念的本质属性凸显出来。
如执教《分数的初步认识（二）》时，教师通过两次变化（变总数和变份数）進行比较，让学生在变与不变中理解一个整体的几分之一的含义，把握分数的本质属性;接着通过进行练习的变式、对比新旧知识等帮助学生搭建起已有分数知识和新学分数知识的桥梁：“把一个物体（把一些物体看作一个整体），平均分成（ ）份，每份就是这个物体（整体）的1/（ ）。”学生在这课堂教学中实现了“实物——图像——符号”的螺旋式转化提升，利用比较外显丰富了分数的概念，引领学生实现了对概念学习的意义建构，促使学生对概念体系的搭建，并让学生在“发现”中学会“再发现”“再创造”。
对比表征可以将数学概念从不同的角度进行研究其中的意义并建立起完整的概念体系，让数学概念学习从内部消化到知识点、对象相互联系，再到外化的过程，有效的帮助学生对数学概念进行多方面的建构。
波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”。人类的认识过程是一个特殊的心理过程，不同的学生在理解和掌握数学概念的过程中往往存在明显的差异。因此教师在数学概念教学中，应该巧妙利用语言表征、材料表征、问题表征、对比表征等多元表征，并且善于将抽象的概念直观化、散状的概念结构化、内隐的概念可视化，这样才能有助于学生走进数学概念的世界，有助于学生自主建构数学概念体系，真正实现《数学课程标准》（2011年版）提出的“面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念。
作者简介：陶冬芝，江苏省常州市，武进区刘海粟小学。
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