辅助线在初中几何解题中的应用与技巧
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作者:刘亚萍
摘要：初中几何数学問题更多的考查学生对数学图形的分析能力，老师在教学的过程中不能以教学生会解题为目的，要更加注重对学生分析图形能力的培养，在几何数学问题中运用辅助线的方法就是一种分析结合问题的过程，巧妙的建立一条正确的辅助线能够让几何问题的难度大大降低，帮助学生理清做题的逻辑思维，使初中几何数学问题更容易的解决。本文从辅助线添加原则、辅助线在主要题型中的应用对其解题技巧进行分析。
关键词：初中数学;几何;辅助线
一、 引言
初中数学几何问题在教学中占据着十分重要的地位，但是许多学生对几何数学问题常抱着逃避心理，认为初中数学几何问题很难，一面对初中几何问题就会下意识地产生抵触心理。其实几何数学问题只是一只纸老虎，解决这类数学问题的关键就在于能否画出正确的辅助线，构建相应的辅助图形，找到问题的突破口，一旦对图形作出正确的辅助线便很容易将几何数学问题解决。
二、 辅助线的添加原则和注意事项
为几何图形添加辅助线的方法有成百上千种，但能够产生作用的辅助线只有几条，在初中数学几何图形中对辅助线的作图与运用也有一定技巧，学生需要通过加强对集合数学问题的训练，不断加强对解决几何数学问题的规律、方法和技巧的掌握。
（一）分析题目隐含条件信息
在解答初中几何数学题目的过程中，几乎每道题目中都蕴含着隐含条件，并且，这样的隐含条件也将成为顺利解题的关键。在初中几何数学问题中所给出的数学条件与需证明的结论之间的逻辑关系往往不会很明确，一般需要通过添加辅助线的方式来构建链接条件与结论之间的“桥梁”，为几何图形问题提供解题思路。做辅助线不能像无头苍蝇一般想怎样就怎样做图，如何做出更有价值的辅助线要依靠学生对题目的分析理解能力，老师在教学过程中要不断培养学生对题目隐含信息的敏感度。如题：“如图所示，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。”在这道题中，题目所给条件没有一个是关于边的信息，如何构建辅助线将角关系转化成边关系，关键在于分析几何问题题目，找到隐含信息。利用题中角平分线信息通过构造全等三角形的方法找到BC与AB、CD的关系，在线段上找到一点E，使BF=AB，只需证明CF=DC即可，即证明△ECF≌△ECD，由于AB∥CD，则∠A+∠D=180°，∠A=∠BFE，∠BFE+∠EFC=180°，因此∠D=∠EFC，即可证明CF=DC。
（二）充分发挥特殊点、线的作用
在初中几何数学题中的特殊点及线的位置往往是解决几何问题的突破口，在解题时学生要注意对线段中点、角的平分线、三角形的中线以及高等的把握，对特殊点和线段的性质要熟练掌握与运用。在解决几何问题时先从特殊点位置对图形刻画辅助线入手，不仅有利于学生面对复杂图形问题能建立起逻辑关系，进行条理化分析，达到化繁为简的目的，通过这样的解题方式能够有效的解决以往学生在解答习题时解题难、没有解题思路的问题，进一步减少学生对初中几何数学问题的畏难心理，同时，有利于培养学生的分析问题、总结规律的能力，有利于加深学生对初中数学几何知识的理解与认识。
三、 辅助线在初中数学几何问题中的应用分析
辅助线在初中数学几何问题中按类型可以划分为延长型、平移型、分隔型辅助线等，在不同类型的几何问题中辅助线的运用也大不相同，本文针对如何在三角形、四边形以及圆形几何问题中运用辅助线进行了分析。
（一）辅助线在三角形中的运用
通过近几年对初中数学几何问题的教学，笔者总结出了一些针对三角几何问题的经验：第一点，当题目中提供角平分线的信息时，可以向角平分线的两边做垂线，找到全等或相似三角形，让题目的隐含条件和信息显示出来。第二点，当题目中所给信息为一个角平分线和一条平行线时，可以得到两个全等的等腰三角形，此时对角平分线做垂线、辅助线或对等腰三角形做三线合一的辅助线往往能找到问题的突破口。第三点，当三角形中出现线段垂直平分线时，可以尝试将线段两端相连找到角与线段的关系，当题目让求证一条线段长度等于另外两条线段长度之和时，可以采用延长或缩短线段长度的办法。第四点，当题目要求证线段和差不相等的问题时，同学们可以朝着在三角形中两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的方向进行思考和论证，并尽量将三个线段放进一个三角形中进行论证。比如，以第四点为例进行分析，“如图所示，已知：D、E为三角形ABC的两个内点，求证：AB+AC>BD+DE+CE”通过阅读题目可以发现，该题属于求证三角形线段和差不相等类问题，因此我们可以作辅助线连接DC，使四边形BDEC转化成两个三角形BDC和三角形DEC，通过定理：在三角形中两边之和小于第三边，可以得到隐含信息：DE+EC<DC，BD+DC<BC，因此AB+AC>BD+DE+CE得证。
（二）辅助线在四边形中的应用
对于现实生活中出现的任何问题我们都可以找到或创造出对应的解题模型，对于初中数学平行四边形几何问题的解决也是如此，用心解题就能总结出相应的解题方法和技巧：第一点，当题目中出现平行四边形时，可以从找到平行四边形旋转对称中心入手解决问题，其旋转对称中心就是平行四边形的对角线等分点，方便找到隐含的线段相等信息。第二点，当题目中出现梯形几何问题时，要注重对图形转换技巧的把握，可以通过作梯形腰的平行线的方法，将题型转化为平行四边形和三角形，进一步分析角和线段之间的关系。第三点，如果题目中提供的图形是腰上的中点时，可以尝试连接两中线构建平行于图形上底或下底的辅助线。第四点，充分利用图形比例式子代换，利用等积等式进行等量代换。比如，以第一点为例进行分析，“如图所示，AD为三角形ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：BF=AC”，可以通过平行四边形对角线互相平分的性质构造平行四边形ABGC，将求证BF=AC转化成求证同一三角形内BF=BG，构造出两个等腰相似三角形（三角形AEF与三角形BFG）。 （三）辅助线在圆形中的应用
第一点，当遇到求证有关圆的弦的几何问题时，可以通过作弦心距的辅助线或者作垂直弦半径的辅助线找到题目隐含关系。第二点，当遇到计算切线长度或圆的半径长度的几何问题时，可以作经过圆心垂直于切线的辅助线，通过半径和设未知数的方法利用勾股定理计算二分之一切线的长度，进而得到切线长度。第三点，当遇见三角形内切圆的相关几何问题时，可以利用三角形内切圆的那些性质作出内心到三角形各顶点或垂线的辅助线，得到三角形的三个角平分线以及三条线段相等的关系。第四点，当遇到三角形外接圆的相关几何问题时，可以利用三角形外接圆的外心性质作出连接外形到三角形各顶点的辅助线，得到三条相等线段，进一步分析圆和三角形的關系。以第二点为例进行分析，“如图所示，AB为圆O的弦，点P为弦AB上的一点，其中AB=10cm，AP=4cm，OP=5cm，求圆O的半径。”，作过圆心O垂直于AB的辅助线OC，与AB的交点为C，并连接OA，设圆O的半径长度为rcm，根据勾股定理得到关系式，解出答案。
（四）辅助线在特殊四边形中的应用
在初中阶段的几何解题当中特殊四边形也是非常常见的一类题型，并且这类题型也有着一定的解题困难，但是运用了辅助线之后便可以有效的简化整个解题过程，促使解题的效率能够进行相应的提升。在解答关于特殊四边形的几何题目当中，可以利用好它们的对角线来进行解题。如下图，ABCD的对角线BD朝着两个方向进行延长，分别延长至点E和点F，并且BE=DF。求证：AECF为平行四边形。
已知平行四边形的判定原理为：对角线互相平分的四边形为平行四边形。因此，根据定理可以连接AC，并且做出如下证明：
证明：在AECF内连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD。
又BE=DF，
∴OB+BE=OD+DF，
即：OF=OE，且OA=OC。
因此，可以证明AECF为平行四边形。
在添加辅助线之后解题过程也变得简洁起来，使得原本不是十分清晰的解题思路变得简单明了，这也更加符合学生的学习水平，促使学生的解题效率也能得到逐步的提升。通过这样的解题方式也能最大限度地避免学生出现解题难、缺乏解题思路的问题，使学生在解答这类题目的过程中解题思路了然于心。
四、 总结
在初中数学几何课堂教学中要善于运用辅助线的方法解决几何问题，在教学过程中老师更要积极引导学生通过逻辑思考找到正确的辅助线，而不是向学生讲解一道数学题，告诉学生作辅助线的思路和方法，在初中数学几何课堂中让学生掌握解题方法和技巧远比解出一道题有价值。学生需要通过不断的练习几何数学问题来熟练掌握几何解题技巧，同时，也要善于对做过的题进行总结，找到灵活多变的题型的解题方法，需要注意的是在作辅助线时要画虚线，学生只要对几何数学问题多加练习一定可以轻松地应对各种几何问题题型。此外，学生也不能忽略对数学基础知识的练习，要熟练记忆并掌握三角形、等腰三角形、圆形、平行四边形、梯形等几何图形的性质，在解题时能熟练运用相关知识。
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