函数思想在高中解题中的应用策略探究

来源:用户上传      作者:朱琳雪

　　摘 要：函数是描述客观世界变化规律的一种数学模型，不同的变化现象可以用不同的函数模型来描述。而解决数学问题的过程就是应用各种数学思想、数学知识来分析客观问题的过程，函数思想便是其中的一种。借助函数思想能够有效地转化一些较难数学问题，帮助学生提高解题效率和正确率。本文笔者重点以高中数学教学为例，探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
　　关键词：高中数学;函数思想;解题
　　一、 前言
　　高中数学对于大部分学生而言是一门高难度课程，不仅需要学生扎实的理论基础，同时也需要学生具备良好数学思维，合理应用不同数学方法、数学思想综合分析问题，如此方可学好数学，解决数学问题。从历年高考数学题型可以看出，高考更注重考查学生数学思维、综合分析能力。从这一层面而言，我们数学教师在日常教学中应该注重学生数学思维培养，加强能力锻炼。将函数思想贯彻于数学教学过程中，引导学生巧妙应用函数思想解决数学问题就是对学生思维能力培养的过程。所以，研究函数思想在高中数学解题中的应用已然成为新时代数学教学的重要课题。
　　二、 函数思想解读
　　函数思想和众多数学思想一样，例如数形结合思想，它既是一种数学思想，同时也是一种解题方式。换言之即是：学习了函数相关知识，能够利用变量与函数来分析各类数学问题，将其他类型的数学问题巧妙地转化为函数问题，从而快速解题的过程就是函数思想的应用过程。从函数性质相关知识来看，指导学生应用函数思想解题的重点是启发学生将函数思想作为一种思维工具，也就是面对一道数学题，首先可以从函数性质的角度切入，分析其是否能够从函数的角度解题，如果可以，则根据题干构建出一个函数模型，或者直接利用函数性质分析问题，从而顺利解决数学问题。
　　高中数学教学大纲明确指出：函数思想是高考重点考查的一种数学思维，对学生学习数学非常重要。倘若学生只掌握了函数知识，但却不能够灵活应用函数思想，这对解決实际问题也无甚帮助，在面对很多数学问题时，很难主动地想到用函数思想解题，尤其是遇到数列问题时，数列题型和函数题型看似关联度不高，实则从本质而言，数列也是一种特殊函数。所以，指导学生灵活运用函数思想，定然是有利于提高学生解题效率的。
　　三、 函数思想在高中数学解题中的应用实践
　　（一）应用函数思想解决不等式问题
　　不等式是高中数学教学的重要内容，也是高考数学必考内容之一，但不等式这部分内容相比较于其他数学内容而言，难度较小，也容易找到解题规律，其中函数思想就是解不等式的一种重要规律和技巧。利用函数思想、数形结合思想，根据函数图象的分布区间可以直观地表示不等式，节约了学生计算分析不等式的时间，同时还有利于提高解题效率。关于函数思想在不等式解题中的具体应用，笔者综合多年经验，总结了如下类型：
　　1. 利用函数的单调性解决不等式问题
　　函数的单调性常用来证明、判断、比较数的大小、求单调区间等问题。通用范式就是将不等式转化为函数f（x）≥a或f（x）≤a，左边是函数y=f（x）解析式，若右边a是某个自变量x′的函数值，即f（x′）=a，则可利用函数单调性直接解不等式。例如：已知函数f（x）=11+x+lg1-x1+x。①判断函数f（x）的单调性;②求解关于x的不等式f[（x）（x-1）]<1。此题只需要建构函数模型，利用函数的单调性既可以解决问题。
　　2. 利用函数周期性解决不等式问题
　　在高中数学题型中，我们常常可以看到有些函数具有周期性，要求解决不等式。针对这类不等式与函数问题，我们只需要引导学生求解出长度为一个周期区间上的不等式解，即可以求出整个定义域内的不等式解。例如：已知函数f（x）对于一切x都有f（x+1）=f（1-x），当x∈[1，2]时，f（x）=logax（a>1），要求 x∈[-1，1]，f（x）的解析式;如果函数f（x）的最大值为12，解不等式f（x）>14。此题重点就在于函数周期性原理，只要学生掌握函数的周期性，就能够巧妙地转化问题，快速解题。
　　（二）应用函数思想解决数列问题
　　数列可以说是高中数学知识中比较复杂的一种题型，有些数列问题计算量大，容易出错。但数列同时也是高中数学知识中比较有规律可循的一类问题，只要我们教师善于引导学生发现规律，结合函数知识，定能突破这一难题。通常，利用函数思想解决数学问题主要可以从如下几方面着手：一是利用函数概念解决数学问题，比如函数图象上坐标点的意义、复合函数的概念、函数零点概念等;二是利用函数图象来直观地分析数列问题，尤其是利用函数图象的单调区间分析数列问题。关于数列和函数的转化，笔者结合多年教学经验，总结了如下规律表1：
　　数列通项公式对应函数
　　等差数列an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）y=ax+b（a≠0时为一次函数）
　　等比数列an=a1qn-1=a1q·qny=Aqn（指数型函数）
　　数列前n项和公式对应函数
　　等差数列Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）ny=an2+bn（a≠0时为二次函数）
　　等比数列Sn=a1（1-qn）1-q=-a11-q·qn+a11-qy=Aqn+b（指数型函数）
　　例如：①等差数列{an}中，Sm=Sn，（m≠n），则Sm+n=    。②等差数列{an}中，a1=25，前n项和为Sn，若S3=S11，n为何值时Sn最大？
　　第①题将数列转化为二次函数，利用函数图象对称性即可解决;第②题可将等差数列的n项和Sn看成一个关于n的二次函数Sn=d2n2+a1-d2n，（n，Sn）是抛物线f（x）=d2x2+a1-d2x上的离散点，结合二次函数图象开口，对称轴等知识即可以解题。 　　实践证明，利用函数思想转化数列问题，不仅减小了数列题型的计算难度，同时也更加直观形象，解题效率也更高。我们高中数学教师一定要在日常教学中指导学生应用函数思想解决数列问题，以函数的观点去揭开数列神秘的“面纱”。
　　（三）应用函数思想解决数学应用题
　　数学应用题属于综合类题型，考查学生多方面能力，比如阅读能力、理解能力、分析能力、转化能力、解题能力。大部分学生对数学应用题都是“嗤之以鼻”的态度，常常畏惧应用题的难度，看到应用题就退缩。针对这一现状，笔者在教学中尝试指导学生利用函数思想解决数学应用题。以一般线性规划問题为例，在教学实践中，笔者重点引导学生将应用题的情境与函数对应起来，指导学生建立函数模型，具体解题步骤总结如下：
　　首先要求学生读懂题意，结合题干中的变量x，y列出线性约束条件;其次指导学生确定线性目标函数z=f（x，y）;接着要求学生画出可行域;最后直接利用线性目标函数作平行直线系y=f（x）（z为参数），观察图象找最值。整个过程其实是函数思想与数形结合思想的综合运用。
　　例如：一工厂预备生产甲、乙两类产品，生产这些产品的设备一共有A、B、C、D四种，甲、乙产品在各设备上需要的加工台时数如下表格（表2）所示，已知各设备在计划期内有效台时数分别是12，8，16，12（一台设备工作一小时称为一台时），一件甲产品可得利润2元，一件乙产品可得利润3元，该厂应该如何安排计划，生产利润才会最大？
　　解题分析：第一步指导学生列出关于产品甲和乙生产件数对应的函数分别将甲和乙看成是函数的自变量和因变量x，y，第二步，结合表格给出数量关系列出不等式，2x+2y≤12;x+2y≤8;4x≤16;4y≤12;x≥0;y≥0，第三步作画，利用函数知识解题。
　　从目标函数z=2x+3y，作直线2x+3y=t，结合图象可以看出，2x+3y=t在A点时，其与y轴的截距是最大的，此时t值最大，求出A点坐标为（4，2），也就是x=4，y=2时该厂获得的利润最大。将x和y的值再带回目标函数，即可解得该厂的最大利润值。
　　需要强调的是，利用函数思想解决线性规划应用题时，我们要指导学生严格按照步骤解题，避免遗漏约束条件。当然，线性规划类应用题实则也是数形结合思想的应用过程，我们在指导学生解决这类问题时，要重点培养学生数形结合思想，启发学生读题、画图、识图、解题。
　　四、 结束语
　　综上所述，高中数学问题是复杂多变的，考查的内容也是非常广泛的。我们教师应该指导学生“以不变应万变”，始终相信“万变不离其宗”，只有基础扎实，思维灵活，能够将不同数学知识架构成知识体系，灵活运用数学思维一定能够找到数学问题的突破口。比如本文所探讨的函数思想，既可以用于不等式问题，也可以用于数列问题、应用题，夯实基础，掌握思想，数学问题也并没有那么难。当然，以上关于函数思想在高中数学解题中的应用仅为笔者经验之谈，希望能够有抛砖引玉之用。
　　参考文献：
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　　作者简介：
　　朱琳雪，福建省泉州市，福建省泉州市石狮市华侨中学。
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