23209逆向思维在数学解题中的应用
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摘要：根据思维的指向性，思维可以分为常规思维（顺向思维）和逆向思维（反向思维）。在数学教学中，加强逆向思维的训练，可以提高学生的思维品质。逆向思维的运用，常常可以创造性的解决问题。
关键词：逆向思维，数学，难题
Abstract: According to thinking ways, thinking can be divided into conventional thinking (toward thinking) and reverse thinking (reverse thinking). In mathematics teaching, strengthening the training of the reverse thinking can improve the students' thinking ability. The use of reverse thinking can often be creative in solving problem.
Key Words: reverse thinking, maths, problems
根据思维的指向性，思维可以分为常规思维（顺向思维）和逆向思维（反向思维）。我们通常采用从已知到结论的顺向思维方式，然而有些数学问题若按顺向思维解题会比较困难，有的甚至无法解决。在数学教学中，加强逆向思维的训练，可以提高学生的思维品质。逆向思维的运用，常常可以创造性的解决问题。下面分几种情形举例加以探讨。
逆用法则、公式、公理、定理
例1.已知xm=4,xn=3,求x3m-2n的值。
该题将同底数幂除法法则逆用后得到x3m-x2n=x3m÷x2n=xm3÷xn2,再代入数值计算，得4。
例2.计算（1- ）（1-）（1-）……（1-）（1-）
分析：直接计算很难，如逆用平方差公式就可化难为简。
解：原式=(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)……(1-)(1+)(1-)(1+)=×××××……××××=×=
例3.试判断边长为5、12、13的三角形是什么三角形？解：因为 52 + 122 = 132，由勾股定理的逆定理可知此三角形为
直角三角形。（注：从原定理到逆定理的转换正是逆向思维能力的体现。但并不
是所有的定理都有逆定理。因此，探求定理的逆定理的存在性，不仅
能使学到的知识更加完备，而且能激发探索新知识的兴趣。例如利用
勾股定理逆定理、等腰三角形“三线合一”性质逆命题、三垂线定理
逆定理、韦达定理逆定理、根的判别式的逆定理等来解题，都可以使
问题变得更加清楚）。
二、从问题的反面求解例4.若三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中
至少有一个方程有实根，求a的取值范围。
分析：若从正面解题，将要对多中情形进行讨论，问题很复杂。但如果考虑它的反面，再从全体实数中排除反面求得的结果就可得到本题答案。
解：若三个方程均无解，则有：
16a2-4(-4a+3)＜0且(a-1)2-4a2＜0且4a2+8a＜0，解得-1.5＜a＜-1. 所以当a≤-1.5或a≥-1时，三个方程中至少有一个方程有实数根。
逆用常规解题规律
例5.分解因式x4+x2+2ax+1-a2
分析：按常规思路，是以x为主元，则原式分解难度较大，反过
来，若以a为主元，则原式可看成关于a的二次三项式。
原式=-(a2-2ax- x4-x2-1)=-〔(a2-2ax+x2)-（x4+2x2+1）〕
=-〔(a-x)2-（x2+1）2〕=-（a-x+x2+1）(a-x-x2-1)
=(x2+x-a+1)(x2-x+a+1)
例6.化简
分析：按常规解法是进行分母有理化，然而运算比较繁。现在反
过来，将分子分母交换位置试一试。
解：设x=,
===+=
∴x==
四. 逆向思维在基本数学方法中的应用
基本数学方法是解决数学问题的基础和前提。而对其中的几个重要方法――分析法、反证法、待定系数法等，一般也都是通过逆向思维体现出来的。 例7.已知y=y1+y2,y1与x成正比例，y2于x成反比例，并且x=1时，y=4,x=2时,y=5。求y与x之间的函数关系式。
解：依题意，设y1=k1x,y2=,则y=y1+y2= k1x+。由已知条件可列方程组，解得k1=2,k2=2.因此，y与x之间的函数关系式为y=2x+
对于初中学生来说，他们都不太习惯反过来思考，即不善于运用逆向思维。因此在教学中要有意识地对学生进行逆向思维的训练，提高学生由正向思维转换到逆向思维的能力，这对提高学生的解题能力，激发他们的学习兴趣很有帮助。
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