数学教学中逆向思维的培养

来源:用户上传      作者: 夏耀卿

　　摘 要：人的思维按照思维的指向性划分为正向（常规）思维和逆向思维，它们相辅相成，具有同等重要的地位。数学教学中，对正向思维训练和能力的培养是经常的、大量的，也是必要的，但容易形成“思维定式”，可见对逆向思维的训练、能力的培养，显然不可忽视。从定义的可逆性、数学运算的互逆性、数学公式的双向性、思维的创新等方面，去探讨怎样培养学生逆向思维的意识，养成逆向思维的习惯，形成逆向思维的能力，从而提高学生的正确、全面的思维方式和创新能力。
　　关键词：逆向思维；培养能力；习惯
　　逆向思维是在研究问题时，突破思维定式，从事物对立、颠倒、相反的角度去思考问题，探索问题。逆向思维是一种发散思维，它具有三性：（1）逆向性：专门从相反的角度去思考；（2）批判性：逆常规而行；（3）离奇性：其方法简捷、新颖奇异、回味无穷。数学教学中若在正向理解概念、定理、公式、法则，掌握基本方法的基础上，能进一步因势利导，培养学生进行逆向思维、贯通这两个互逆的思维过程，则对于提高学生的学习兴趣、解题能力，养成良好的思维习惯及掌握辩论方法都是十分有益的。
　　下面谈谈在教学中如何培养学生的逆向思维。
　　一、从概念、定义的教学中，培养学生逆向思维的意识
　　许多教学概念是通过揭示其本质属性来定义的，定义是可逆的命题。在教学中要启发学生掌握这一特点，从而加深对定义的理解和掌握，培养学生逆向思维的意识，养成逆向思维的习惯。例如，直线垂直于平面的定义：“若直线垂直于一个平面的任何直线，则直线垂直于这个平面”，用定义解决的问题不多，但经常使用它的逆命题证明直线与直线垂直。又如，互为反函数的定义域与值域是互逆关系，利用这一关系，求某些函数的值域，可采用求其定义域的方法求得。
　　否定一个命题，只需要一个反例。举反例是培养学生逆向思维的好方法，它不仅能加深记忆，还对深入理解定义、定理公式等起着主要的作用，同时它也是纠正错误的常用方法。
　　例如，定理：“在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值”。其中关键字眼是“闭区间”和“连续”，二者缺一不可，若改变定理的条件，定理的结论就会被否定。
　　可见，在教学中注意经常性地启发学生逆用某些定理和概念，能有效地培养学生的逆向思维能力。
　　三、从解题思路、方法的教学中，形成逆向思维的解题能力
　　反证法是种间接证法，是许多数学问题在用直接证法相当困难时，常常采用的方法，它从结论的反面出发，推出矛盾，从而否定要证的结论的反面，肯定结论。加强反证法的训练是促进学生逆向思维形成的必要措施。
　　例2.若a、b、c为三个不等实数，试证明一元二次方程：ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0不能同时得到等根。
　　分析：若从正面论证，就要证明三个方程要么都不能得到等根，要么只有其中两个得到等根。其四种情况均需证明，比较复杂，而结论的反面是三个方程都能得到等根，采用反证法较易得到。
　　第二步，排好6人后，中间的缝隙有5个，任意安排甲、乙有 种方法。根据乘法原理，符合题意的安排有P66×P25=14400种。
　　数学中的分析法与综合法也是培养学生“双向思维”的好教材。
　　教学中培养学生逆向思维的方法和形式很多，教师要有的放矢，抓住时机，培养学生逆向思维的意识，养成学生逆向思维的习惯，形成逆向思维的解题思路和能力，使学生的思维更加正确、全面，具有创新能力。
　　编辑 谢尾合
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