参数思想在高中数学教学中的渗透策略研究

作者:未知

  摘 要:参数思想是一种重要的数学思想,在数学教学中有重要的辅助作用,多用于分析解决两个有联系的对立数学矛盾,参数在其中起到沟通问题条件和结论的桥梁作用。参数思想的应用使三角函数、解析几何和不等式等高中数学问题得到简化,能够提高学生的解题能力,有利于学生思维能力的培养。
  关键词:高中数学;教学;参数思想;渗透策略
  参数思想是指通过引入参数这一与问题的条件和结论都有直接联系的中间变量,使条件与结论形成间接联系,形成一个完整的问题,主要用于解决条件和结论缺乏明显联系的问题。参数思想的应用为解决数学问题开拓了一条新思路,避免了繁琐的公式推导,打破了有限的公式对解题思路的限制。参数思想涉及符号、转化、映射、类比、分解、演绎、模型等多种数学思想,应用参数思想解决数学问题可以较好地培养和加强学生的观察、理解、记忆、想象、逻輯推理、运用、运算等能力,多参数问题还有助于培养学生的辩证思维。因此,在高中数学教学中渗透参数思想,是提高高中数学教学质量和解题效率的重要途径。
  一、参数思想在高中三角函数教学中的渗透
  三角函数的换元法是高中数学中最早体现参数思想的内容,虽然以换元为名,但其本质还是参数思想,如x2+y2=1与x=sinα,y=cosα之间的推导即是通过引入角参数α来完成的,可以说换元法就是运用参数思想解决三角函数问题的方法。通过参数换元可以从更深层次阐明三角函数的定义,链接三角变换公式,简化相位,灵活应用三角图像性质,变换形式,转化三角代数。因此,在高中三角函数的教学中,应引导学生在解决y=Asin(ωx+φ)+k等复合函数问题时,引入参数X,设X=ωx+φ,将复杂三角函数问题简化成y=sinX、y=cosX和y=tanX等运算简单,容易作图的基础三角函数问题,这也有助于学生理解y=Asin(ωx+φ)+k、y=Bcos(ωx+φ)+k以及y=tan(ωx+φ)+k等复杂三角函数的周期性和单调性。如讲解例题“若x∈0,π2,求函数y=sinx+cosx-sinxcosx的值域”时,引导学生根据其特点引入参数t,设t=sinx+cosx=2sinx+π4。由sinxcosx=(sinx+cosx)2-12y=-12t2+t+12,由x∈0,π2t∈[1,2],易得出y∈2-12,1。
  二、参数思想在高中解析几何教学中的渗透
  解析几何的中心思想是将几何图形转化成直角坐标系内对应的方程,但横坐标x和纵坐标y之间的关系往往并不明确,导致建立方程困难,而适当的引入与x和y都有关系的参数t,分别建立函数x=f(t)和y=g(t),将x和y通过t联系起来,避免了直接建立x与y的关系方程。解析几何这一从简到繁的过程,也是理解和应用参数思想的过程。因此,在高中解析几何的教学中,应引导学生将解析几何问题转化成代数问题后,根据几何图形的性质引入合适的参数,简化步骤,降低解题难度,进而有效提升解题效率和计算结果的准确性。如讲解例题“以F为左焦点,焦距为4的椭圆x2a2+y2b2=1中a>b>0,过F作与直线x=-3上任意点T连线的垂线,与椭圆交于点P和点Q,证明OT平分线段PQ”时,引导学生引入参数k作为直线PQ的斜率,先确定直线PQ的方程x=ky-2,解方程组x2a2+y2b2=1
  x=ky-2,不难得出线段PQ中点的坐标,据此分别求出k=0和k≠0两种情况下直线TF的方程,进而求出T点坐标,即可证明OT平分线段PQ。
  三、参数思想在高中不等式教学中的渗透
  不等式问题一直是高中数学的学习难点,尤其是含有参数的不等式,参数的取值范围会影响不等式两侧的函数的大小关系,参数的作用在含参不等式恒成立问题中得到充分体现,解决含参不等式恒成立问题的过程是帮助学生理解并学会运用参数思想的重要时机。因此,在高中不等式的教学中,应利用含参不等式恒成立问题培养学生运用参数思想解决数学问题的意识和能力,突出参数在高中数学中的重要地位和作用,如设置习题“当m∈[-2,2]时,含参不等式mx2-2x-m+1<0恒成立,求x的取值范围”,一般的不等式问题的解法是将所求变量从函数中分离出来,再根据已知条件确定其取值范围,但该题中所求x在不等式中以x和x2两种形式出现,无法顺利分离。此时提示学生将x视为参数,引导学生将原含参不等式变形为m(x2-1)-(2x-1)<0,以m为主元,则函数f(m)=m(x2-1)-(2x-1)<0在区间[-2,2]上恒成立,故f(-2)<0
  f(2)<0,解方程组,即可确定x∈-1+72,1+32。在这一解题过程中,参数的转换起到了关键作用,能够使学生意识到参数的选择和运用对解决不等式问题的重要性,深刻理解参数思想的内涵。
  总之,在高中数学教学中渗透参数思想,能够有效提高三角函数、解析几何和不等式等内容的教学质量和解题效率,有利于学生综合思维能力的培养。
  参考文献:
  [1]侯海燕.参数思想在高中数学中的有效运用[J].数学大世界(上旬),2018(7):79.
  [2]蓝云波.高中数学中实施“分离参数”思想的策略研究[J].中学数学杂志,2017(1):47-51.
  作者简介:
   胡红娣,浙江省慈溪市,浙江省慈溪市龙山中学。
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