在解题中培养观察能力

来源:用户上传      作者: 洪娟

　　 观察能力对解决问题来说非常重要。通过细致的观察，往往可以抓住主要信息，简化题型结构，从而找出简便、快捷的解决数学问题或沟通题目思想的方法，进而高质高效地解决问题。观察能力的培养，自然需要结合数学问题进行。我们以例题来说明之。
　　 直接观察。直接观察是指对对象的实物直观、模型直观、语言直观加以主动地感知的活动。解决数学问题总是始于直接观察，即通过审题，弄清题目的条件与结论，明确题目要求，在头脑中建立起题目的模式，并进一步观察题目，其条件和结论有什么特点，涉及什么概念、定理，还可以挖掘哪些隐含条件，条件和结论有何联系和区别，题型有何规律，能否实现课题的类化等。在解题过程中，需要观察已经解决了什么问题，还需解决的问题，哪些条件还未利用，如何利用可以解决问题。直接观察法适用于一些比较简单的问题。
　　 例1 在下面图形中找出一个与众不同的。
　　
　　 从图中容易看出，（1）、（3）、（4）的形状相同，只是位置和颜色不同。继续观察有：
　　
　　 （1）与（3）三角形与圆的颜色互换了一下。
　　
　　 （1）与（4）颜色没有发生变化。
　　
　　 （2）与（5）是一组图形，图形的形状相同，位置和颜色发生了变化。
　　 根据上面的分析，（1）与（3）、（2）与（5）配对。因此与众不同的图形是（4）。
　　 间接观察。当所要解决的数学问题较为复杂时，直接观察一般难以入手，这时应注意进行间接观察。
　　 （1）简单化观察法
　　 问题较为复杂，思路、方法不够明确时，可先将问题简单化，进而比较原命题情况，从而沟通解题思路和方法。
　　 例2 设0＜a，b，c，d＜1，求证：（1-a）（1-b）（1-c）•
　　（1-d）＞1-a-b-c-d。
　　 分析：若展开后证明，项多且不易比较，无从入手。我们可以将题目简单化：
　　 ①若0＜a，b＜1，求证：（1-a）（1-b）＞1-a-b。则由（1-a）（1-b）＞1-a-b+ab＞1-a-b知其成立。
　　 ②类比为三式时，则（1-a）（1-b）（1-c）=[（1-a）（1-b）]（1-c）＞（1-a-b）（1-c）＞1-a-b-c，故原命题可由（1-a）
　　（1-b）（1-c）（1-d）＞（1-a-b-c）（1-d）＞1-a-b-c-d得证。
　　 （2）特殊化观察法
　　 对于特殊函数、定值、定点等特殊问题，直接观察一般难以解决，这时，可根据题设要求仔细观察特殊状态下将呈现出来的性质和规律，然后类化解决。
　　 例3 定义在R上的奇函数f(x)是增函数，偶函数g(x)在（0，+∞）上的图像与f(x)的图像重合，当a＞b＞0时，下列不等式成立的有哪些？
　　 ①f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)； ②f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)；
　　 ③f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)； ④f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)。
　　 分析：本例直接用图像法或函数性质进行观察讨论，繁杂且易错。若进行特殊化观察，依题意，令f(x)=x，g(x)=|x|，a=2，b=1，则f(a)=2，f(b)=1，g(a)=2，g(b)=1，f(-a)=-2，f(-b)=-1，g(-a)=2，g(-b)=1，代入上面四个式子可迅速判定成立的式子为①、③，且易于理解掌握。
　　 （3）反面观察法
　　 一些探索性、无穷性逻辑问题及正面观察难以解决的问题可采用反面观察法。
　　 例4 求函数y=的值域。
　　 分析：直接观察及特殊观察等都难以入手时，不妨从反面入手，利用反函数定义域或类似表达式则可较易解决。原函数可化为sin（x+φ）=，因为|sin（x+φ）|≤1，故≤1，即|2y|≤，所以4y2≤3+y2，从而可得y∈[-1，1]。
　　（作者单位：广东省深圳市南山育才三中）
　　

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